Opérations sur les coordonnées

Propriétés
1. Soit une base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace. Soit  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}\) deux vecteurs de l'espace. Soit \(k\) un réel.
Alors :

• le vecteur  \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\)  a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix} a+a' \\ b+b' \\ c+c' \\\end{pmatrix}\) ;
  
• le vecteur  \(k\overrightarrow{u}\)  a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix} ka \\ kb \\ kc \\\end{pmatrix}\) ;
  
• les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
  

2.  Soit \(\left(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) un repère de l'espace. Soit  \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)  et  \(\text B(x_\text B~;~y_\text B~;~z_\text B)\)  deux points de l'espace.
Alors :

• le vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix} x_\text B-x_\text A \\ y_\text B -y_\text A \\ z_\text B-z_\text A \\\end{pmatrix}\) ;
  
• le point \(\text I\) , milieu du segment \([\text A\text B]\) , a pour coordonnées  \(\text I\left(\dfrac{x_\text A+x_\text B}{2}~;~\dfrac{y_\text A+y_\text B}{2}~;~\dfrac{z_\text A+z_\text B}{2}\right)\) .